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9-连分数与佩尔方程的最小整数解

发布日期:2019-07-10   点击次数:

  连分数取佩尔(Pell)方程的最小正整数解(0)根基号令 LCM[2,3,5]:求2,3,5的最小公倍数。 [3,6,9]:求3,6,9 的最大公因子。 RealDigits[2008]:对2008进行数字分化,并别求出2008 是几位数。 法式施行后成果: Drop[{x,y,z},{3}]:从向量{x,y,z}中去掉第3个元素。 (1)连分数暗示法 一个“既约”分数(能够比分母大,但无公因子)能够暗示成连分数的 形式。例如将 17 11 暗示成连分数,法式如下: ContinuedFraction[ 17 11 获得成果:{0,1,1,1,5}。这暗示11 17 二次整系数方程的根叫做二次无理数。初等数论中曾经证明:一切二次无理数暗示成连分数,都具有无限轮回节。例如将 11暗示成连分数,法式如下: ContinuedFraction[ 此中{3,6}用花括号括起来,暗示无限轮回节。反之,我们能够通过一个数的连分数暗示形式求其一般形式。例如: FromContinuedFraction[{ 1,2,3 10。这暗示:连分数 又例如,FromContinuedFraction[ 54I119 54119 1093(2)佩尔(Pell)方程的最小正整数解 公元前3世纪下半叶古希腊科学家阿基米德(Archimedes,公元前287—公 元前212 年)正在其论著中记录了一个牲畜问题,遍及称做群牛问题。汗青上对这 问题的研究丰硕了初等数论的内容。 原文用诗句写成,大意是:西西里岛草原上有一大群牛,公牛和母牛各有4 种颜色。设W (1)不附加前提的群牛问题求解方程组: 正在Mathematica4.1软件包中编程如下 施行后获得成果:Solve::svars Equationsmay givesolutions allsolve variables. 此中,Z是变量。求分母的最小公倍数,就能够获得整数解: LCM[367903,3679030,7358060,790,1580] 施行后获得最小的z =7358060,将其代入方程组及需求解: 7358060;Solve 即,百色母牛7206360 (头),黑色母牛4893246 (头),母牛5439213 (头),正色母牛3515820 (头);百色公牛10366482 黑色公牛7460516 (头),公牛414938 (头),正色公牛7358060 不附加前提的群牛问题,总数起码为97(头),即,大约四万 一千四百九十四亿头。 (2)附加前提的群牛问题 求解方程组: ,此中,m是一个正整数,以及 完全问题较简问题 较简问题由于牛的身长取体宽纷歧样,“较简问题”暗示,将牛排成长方形,两边的 数目纷歧样。有文章说,较简问题求解后,牛的总数近6万亿头。 (长取宽的数目相等),即,将牛排成正方形,两边的数目相等时,称为“完全问题”。求解完全问题,最初归结为求解二元二次方程不定方程 (Pell 方程) 这个不定方程的解,曾经通过计较机正在几分钟之内求出。这个方程的最小正整数解是名副其实的天文数字(求解成果正在后面)。 17 世纪,费尔马从头提出求解不定方程X 的解的问题,此中A是正的非完全平方数。他提出此方程有无限多组正整数解。同时他向所有的数学 家挑和:求出此方程的无限多组正整数解。 英国皇家学会的第一任会长布龙克尔(Lord Brouncker)给出领会,但 他未能证明解有无限多个。 Pell,1611—1685)正在他的一本著做中附录了瓦利斯的成果。欧拉正在他于1732 年颁发的一篇论文中错误地称X 为Pell方程,这个错误 就沿袭至今。 假设A 是正的非完全平方数,则 是二次无理数,它的连分数轮回节暗示形式是: 当无限轮回节中数字的个数r是偶数时,取 r-1获得解x、y,这就是Pell 方程X 当无限轮回节中数字的个数r是奇数时,取 r-1获得解x、y,这就是Pell 方程 公元650年摆布,初创0 不克不及做除数的印度数学家Brahmagupta(婆罗摩 及塔)曾努力研究Pell 方程ax 的人是一位数学家”。用Mathematica5编程求解如下: 获得:{9,{1,1,2,4,2,1,1,18}} Lengtha1 Dropa1, 获得分数:1151 120 120是此Pell 方程X 1,成果,他正在一小时之内就找到准确的谜底。 817,81, 34

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