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连分数_百度百科

发布日期:2019-06-09   点击次数:

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  连分数(continued fraction)是特殊繁分数。若是a0,a1,a2,…an,…都是整数,则将别离称为无限连分数和无限连分数。可简记为a0 ,a1,a2,…,an,…和a0,a1,a2,…,an。一般一个无限连分数暗示一个有理数,一个无限连分数暗示一个无理数。若是a0,a1,a2,…,an,…都是实数,可将上述形式连分数别离叫无限连分数和无限连分数 。近代数学的计较需要,还可将连分数中的a0,a1 ,a2,…,an,…取成以x为变元的多项式。正在近代计较数学中它常取某些微分方程式差分方程相关,取某些递推关系相关的函数构制的使用相联系。

  这个算法适合于实数,但若是用浮点数实现的话,可能导致数值灾难。做为替代,任何浮点数是一个切确的有理数(正在现代计较机上分母凡是是 2 的幂,正在电子计较器上凡是是 10 的幂),所以欧几里得算法的变体能够用来给出切确的成果......

  所有无限连分数都暗示一个有理数,而所有有理数都能够按两种分歧的体例暗示为无限连分数。这两种暗示除了最终项之外都是分歧的。正在较长的连分数暗示,其最终项是 1;较短的暗示去掉了最初的 1,而向新的终项加 1。正在短暗示中的最终项因而大于 1,若是短暗示至多有两项的话。其符号暗示:

  [0;1]  [0;1,3]  [0;1,4]  [0;1,5]  [0;1,5,2]  [0;1,5,2,1]  [0;1,5,2,2] 13/4 4/5 5/6 11/13 16/19 27/32包含了分母严酷枯燥递增的补充项答应正在算法上,要么正在分母的大小上,要么正在迫近的接近性上。

  去掉表达式 4 + 1/(2 + 1/(6 + 1/7)) 中的冗余部门可获得简单记号 [4; 2, 6, 7]。

  i 都是 {0, 1, 2, ..., 9} 的一个元素。正在这种暗示中,例如数 π 被暗示为整数序列 {3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, ...}。

  连分数暗示法是避免了实数暗示的这两个问题。让我们考虑若何描述一个数如 415/93,约为 4.4624。近似为 4,而现实上比 4 多一点,约为 4 + 1/2。可是正在分母中的 2 是不精确的;更精确的分母是比 2 多一点,约为 2 + 1/6,所以 415/93 近似为 4 + 1/(2 + 1/6)。可是正在分母中的 6 是不精确的;更精确分母是比 6 多一点,现实是 6+1/7。所以 415/93 现实上是 4+1/(2+1/(6+1/7))。如许才精确

  的最佳有理数迫近是有理数 n/d(d 0),它比带有更小分母的任何迫近都接近于 x。根据如下三个法则,从 x 的简单连分数生成所有对 x 的最佳有理数迫近:

  截断连分数,并尽可能减小它的最初项。 减小的项不克不及小于它最后的值的一半。 若是最终项是偶数,则用特殊法则确定它的值能否可接管。(见后) 例如,0.84375 有连分数 [0;1,5,2,2]。下面是它的所有最佳有理数迫近。

  a0 = ⌊27⁄32⌋ = 0,  f0 = 27 − 32a0 = 27a1 = ⌊32/27⌋ = 1, f1 = 32 − 27a1 = 5a2 = ⌊27/5⌋ = 5, f2 = 27 − 5a2 = 2a3 = ⌊5/2⌋ = 2, f3 = 5 − 2a3 = 1a4 = ⌊2/1⌋ = 2, f4 = 2 − 1a4 = 0利用以此生成的

  一个数的连分数暗示是无限的,当且仅当这个数是有理数。 “简单”有理数的连分数暗示是简短的。 任何有理数的连分数暗示是独一的,若是它没有尾随的 1。(可是 [a0; a1, ... an, 1] = [a0; a1, ... an + 1]。) 无理数的连分数暗示是独一的。 连分数的项将会反复,当且仅当它是一个二次无理数(即整数系数的二次方程的实数解)的连分数暗示 [1]。 数 x 的截断连分数暗示很早发生 x 的正在特定意义上“最佳可能”的有理数迫近(下述 5 推论 1)。 最初一个性质很是主要,且保守的小数点暗示就不克不及如斯。数的截断小数暗示发生这个数的有理数迫近,但凡是不常好的迫近。例如,截断 1/7 = 0.142857... 正在各类上发生迫近比,如 142/1000、14/100 和 1/10。可是较着的最佳有理数迫近是“1/7”本身。π 的截断小数暗示发生迫近比,如 31415/10000 和 314/100。π 的连分数暗示起头于 [3; 7, 15, 1, 292, ...]。截断这个暗示发生极佳的有理数迫近 3、22/7、333/106、355/113、103993/33102、...。 314/100 和 333/106 的分母相当接近,但近似值 314/100 的误差是远高于 333/106 的 19 倍。做为对π的迫近,[3; 7, 15, 1] 比 3.1416 切确 100 倍

  无理数的无限连分数暗示常有用的,由于它的初始段供给了对这个数的优异的有理数迫近。这些有理数能够叫做这个连分数的(convergent,也译为“渐进”)。所有偶数编号的都小于最后的数,而奇数编号的都大于它。

  的连分数展开的半包罗了所有比有更小分母的任何迫近都好的有理数迫近。另一个有用的性质是持续的半 a/b 和 c/d 有着 。

  这种小数暗示有些问题。例如,正在这种环境下利用 10 是由于我们利用了 10进制系统。我们还能够利用 8进制或 2 进制系统。另一个问题是良多有理数正在这个系统内缺乏无限暗示。例如,数 1/3 被暗示为无限序列 {0, 3, 3, 3, 3, ....}。

  数 3.245 还能够暗示为连分数展开 [3; 4, 12, 3, 1];拜见下面的无限连分数。

  减去这个整数部门。若是差为 0 则遏制;不然找到这个差的倒数并反复。这个过程将终止,当且仅当

  的正在更强的意义上是最佳迫近:n/d 是 x 的迫近,当且仅当 dx−n 是正在所有迫近 m⁄c 带有 c ≤ d 中是最小的相对误差的;就是说,我们有 dx−n cx−m 只需 c d。(留意还有 dkx−nk → 0 当 k→∞。)

  [ak; ak−1, …, a1] [ak; ak+1, …] 正在实践中,经常利用雷同欧几里得的算法依序生成这些项,且它供给的辅帮值可更便利的测试。例如,以下是为 0.84375 = 27⁄32 生成的项。

  k−2−101234ak01522nk010151127dk101161332减半法则的形式描述是减半的项 1/2 ak 是可接管的,当且仅当

  nk+1 = nk−1 + ak+1 nk dk+1 = dk−1 + ak+1 dk 初始的(要求前两项)是 0⁄1 和 1⁄0。例如,以下是对 [0;1,5,2,2] 的。

  分数暗示和它的倒数除了根据这个数小于或大于 1 而别离左移或左移一位以外是不异的。换句话说,(左图)和(左图)互为倒数。这是由于若是 a是整数,接着若是x1,则x=0+1/(a+1/b)且1/x=a+1/b,并且若是x1,则x=a+1/b且1/x=0+1/(a+1/b)带有最初的数生成对x和它的倒数是同样的连数的余数。

  和 n + 1 项(包含它们)之间,叫做“半”、次或两头分数。这个术语经常意味着解除了是的可能性,而不是是一种半。

  值,1/2 ak 的可接管性测试是 dk−2 ⁄ dk−1  fk ⁄ fk−1。对于例中的 a3,d1 ⁄ d2 = 1/6 且 f3 ⁄ f2 = 1/2,所以 1/2 a3 是不成接管的;正在对 a4 的时候,d2 ⁄ d3 = 6⁄13 且 f4 ⁄ f3 = 0⁄1,所以 1/2 a4 是可接管的。

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